第12章：相關分析

兩個連續變數之間的關係，可以用一個數字來衡量嗎？

← 返回課程 開始閱讀 ↓
1

相關的起點：從分類到連續

情境：某教學醫院的語言治療師收集了 50 位高齡吞嚥障礙患者的資料，包括每位患者的「最大舌壓」（kPa）與「功能性口腔攝食量表」（FOIS）分數。她想知道：舌頭的力量與吞嚥功能之間，是否存在系統性的關聯？

在第 10 章和第 11 章中，我們使用卡方檢定來分析類別變數之間的關聯。但是，本章的情境有所不同：「最大舌壓」是一個以 kPa 為單位的連續變數，而「FOIS 分數」則是一個具有 7 個等級的順序變數。我們希望用一個數字來表達這兩個變數之間的關聯強度與方向。這正是相關分析的核心任務：它會產生一個相關係數，同時包含方向（正或負）與強度（接近 0 或接近 1）兩項資訊。

從分類到連續：分析工具的進化

卡方檢定只能回答「兩個類別變數是否有關聯」這個是非題，無法告訴我們關聯有多強、方向為何。相關分析則可以同時回答「有多強」和「往哪個方向」。當我們的變數從分類進階到連續或順序量表時，相關係數便成為量化兩變數關係最直觀的工具。

FOIS 功能性口腔攝食量表

FOISFOIS（Functional Oral Intake Scale）是一個 7 級順序量表，用於評估吞嚥功能。Level 1 代表完全無法經口進食，Level 7 代表完全經口進食且無任何限制。分數越高，表示吞嚥功能越好。此量表由 Crary 等人於 2005 年開發，廣泛應用於吞嚥障礙的臨床評估與研究。（Functional Oral Intake Scale）是一個 7 級的順序量表，用於評估患者的吞嚥功能。Level 1 代表完全無法經口進食；Level 7 代表可完全經口進食且不需要任何飲食限制。分數越高，代表吞嚥功能越好。

本章三大學習重點

Pearson r
計算兩個連續變數之間的線性相關程度
Spearman ρ
以等級取代原始數值，適用於順序資料或非常態分布
散佈圖
將資料視覺化，觀察兩變數的關聯方向與型態
2

文獻導讀：吞嚥困難與營養不良的關聯

在學習相關分析的統計原理之前，讓我們先回顧一篇臨床研究，看看研究者如何運用關聯分析來探討吞嚥功能異常與營養狀態之間的關係。

研究文獻

Hägglund, P., Fält, A., Hägg, M., Wester, P., & Levring Jäghagen, E. (2019). Swallowing dysfunction as risk factor for undernutrition in older people admitted to Swedish short-term care: a cross-sectional study. Aging Clinical and Experimental Research, 31(1), 85–94.

這項研究收集了瑞典 4 間短期照護機構中 391 位 65 歲以上長者的資料，中位年齡為 84 歲（四分位距 78-89 歲）。研究使用限時飲水測試（timed water swallow test, WST）評估吞嚥功能，並以 MEONF-II 營養篩檢工具評估營養狀態。在統計方法方面，研究者採用 Spearman 等級相關來分析順序變數之間的關聯，同時搭配邏輯斯迴歸進行風險評估。

391人
研究樣本數
63%
吞嚥功能異常比例
23%
營養不良風險比例
OR 1.74
吞嚥異常與營養不良風險

研究的主要發現包括：55%（213/385）的受試者吞嚥容量異常（低於 10 mL/s）；34%（127/377）出現嗆咳徵兆。營養不良風險在女性中更為常見（p = 0.007）。邏輯斯迴歸分析顯示，吞嚥容量異常者的營養不良風險為正常者的 1.74 倍（OR = 1.74, 95% CI: 1.04-2.92, p = 0.034）。

統計方法的啟示

這篇研究使用了 Spearman 等級相關，因為許多臨床量表的測量結果屬於順序尺度。此外，研究者也搭配邏輯斯迴歸來量化風險。本章聚焦於相關分析的基礎，它是後續學習迴歸分析的重要基石。

受到這篇研究的啟發，本章以「最大舌壓」（連續變數，反映口腔動作功能）與「FOIS 分數」（順序變數，反映吞嚥功能）為例，在 50 位高齡吞嚥障礙患者中，探討兩者之間的相關性。

參考文獻：
Hägglund, P., Fält, A., Hägg, M., Wester, P., & Levring Jäghagen, E. (2019). Swallowing dysfunction as risk factor for undernutrition in older people admitted to Swedish short-term care: a cross-sectional study. Aging Clinical and Experimental Research, 31(1), 85–94. https://doi.org/10.1007/s40520-018-0937-3
3

Pearson 相關係數與 Spearman 等級相關

相關係數是一個介於 -1 到 +1 之間的數值，用來量化兩個變數之間線性關係的強度與方向。數值越接近 +1 或 -1，代表線性關聯越強；越接近 0，代表線性關聯越弱。

Pearson 積差相關係數

Pearson 積差相關係數（以 r 表示）適用於兩個變數皆為連續尺度且近似常態分布的情境。其計算公式如下：

\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}} \]

分子為兩變數的共變數方向總和，分母則將其標準化，使 r 的值落在 -1 到 +1 之間

白話解讀

公式的核心邏輯是：對於每筆資料，同時看 x 偏離其平均值多少、y 偏離其平均值多少，再將兩者的偏離量相乘。如果 x 高於平均時 y 也傾向高於平均，兩者的乘積就是正數，累加後 r 會趨向正值。反之，如果 x 高於平均時 y 卻傾向低於平均，乘積就是負數，r 會趨向負值。分母則確保 r 不會超出 -1 到 +1 的範圍。

正相關（r > 0）

一個變數增加，另一個也傾向增加。散佈圖呈現左下到右上的趨勢。

例：身高越高，體重傾向越重。

負相關（r < 0）

一個變數增加，另一個傾向減少。散佈圖呈現左上到右下的趨勢。

例：年齡越大，最大舌壓傾向越低。

零相關（r ≈ 0）

兩變數無線性關聯。散佈圖中資料點隨機散布。

注意：不排除非線性關聯的可能。

相關強度的判讀（Portney & Watkins, 2000）

0.00 – 0.25：幾乎沒有相關（little or no correlation）
0.25 – 0.50：低度至中度相關（fair correlation）
0.50 – 0.75：中度至良好相關（moderate to good）
0.75 – 1.00：良好至極佳相關（good to excellent）

以上判讀標準適用於相關係數的絕對值 |r|，無論正負方向皆可使用同一套標準。

Spearman 等級相關係數

Spearman 等級相關係數（以 ρ 或 rs 表示）的做法是：先將兩個變數的原始數值分別轉換為等級（rank），再對等級資料計算 Pearson 相關係數。由於使用的是等級而非原始數值，Spearman 相關對極端值的影響較不敏感，也不要求資料必須呈常態分布。

當資料中沒有相同名次（即「綁結」）時，Spearman 相關可用下列簡式計算：

\[ \rho = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)} \]

其中 di 為第 i 對觀察值的等級差 R(xi) − R(yi)，n 為樣本數。此為「無等級綁結」時的簡式；若資料中有相同名次（如兩人並列第 3），需回到對等級資料計算 Pearson 公式的一般式（SPSS、R 等軟體會自動偵測綁結並處理，不必手算）。

白話解讀

把兩個變數分別排名次（最小值為 1、最大值為 n），逐筆計算兩個名次的差距，平方後加總起來。如果兩變數的排名完全一致，每筆 d 都是 0，整個分子歸零，ρ 等於 1；如果排名完全相反，d2 加總會達到最大值，ρ 等於 −1。簡式只需 n 與 d2，計算上比一般式直觀許多，常見於統計課本與紙筆計算題；實務分析仍建議用軟體跑，因為真實資料常有綁結需要修正。

適用時機包括：

  • 至少有一個變數為順序尺度（如 FOIS 量表）
  • 資料分布呈現非常態（偏態或有明顯極端值）
  • 小樣本時，常態假設難以驗證
何時選 Pearson，何時選 Spearman？
  • 兩個變數都是連續尺度且近似常態分布 → 使用 Pearson r
  • 至少一個變數為順序尺度 → 使用 Spearman ρ
  • 資料分布明顯偏態或有極端值 → 使用 Spearman ρ
  • 兩種方法都可以計算；若結果一致，表示兩變數之間的關聯是穩健的

兩大常見誤區

相關不等於因果

即使 r = 0.90，也不能直接推論「A 導致 B」。高度相關可能源於共同的第三變數（混淆因子）、反向因果，甚至純粹的巧合。經典的例子：冰淇淋銷量與溺水人數高度正相關，但兩者之間並非因果關係，而是炎熱天氣同時促進了這兩件事。

大樣本的陷阱

當樣本量很大時（例如 n = 2000），即使 r 只有 0.05，也可能達到統計顯著（p < .05）。但 r = 0.05 在臨床上幾乎毫無意義。因此，統計顯著不等於實質顯著。除了看 p 值之外，務必依據 Portney & Watkins 的判讀標準來評估 r 的實際大小。

Fisher Z 轉換與信賴區間

相關係數 r 的抽樣分布在 |r| 較大時會呈現偏態，不適合直接用來建構信賴區間。Fisher Z 轉換將 r 轉換為近似常態分布的 Zr，接著即可利用標準誤計算 95% 信賴區間，再反轉回 r 的尺度。

\[ Z_r = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+r}{1-r}\right), \quad SE_{Z_r} = \frac{1}{\sqrt{n-3}} \]

先以 Fisher Z 轉換使分布近似常態，再利用 SE 建構信賴區間，最後反轉回 r 的尺度

參考文獻：
Portney, L. G., & Watkins, M. P. (2000). Foundations of clinical research: Applications to practice (2nd ed.). Prentice Hall.
4

臨床應用：舌壓與吞嚥功能的相關分析

情境回顧：語言治療師收集了 50 位高齡吞嚥障礙患者的最大舌壓（kPa）與 FOIS 分數，以下是完整的分析流程與結果。

描述性統計

變數n平均值標準差最小值最大值
最大舌壓（kPa）5029.411.28.552.3
FOIS 分數504.61.817

散佈圖觀察

1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 最大舌壓 (kPa) FOIS 分數

散佈圖清楚顯示一個左下到右上的趨勢：舌壓越高的患者，其 FOIS 分數也傾向越高。資料點的分散程度顯示這是一個中度至良好的正相關，而非完美的線性關係。

假說檢定步驟

建立假說

H0：ρ = 0（舌壓與 FOIS 之間無線性相關）
H1：ρ ≠ 0（舌壓與 FOIS 之間存在顯著的線性相關）

設定顯著水準

α = 0.05，採用雙尾檢定。

計算檢定統計量

Pearson r = 0.68

\[ t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \frac{0.68 \times \sqrt{48}}{\sqrt{1 - 0.4624}} = \frac{0.68 \times 6.928}{0.733} = 6.43 \]
查表與判斷

df = n − 2 = 48，t 臨界值（α = 0.05，雙尾）≈ 2.011。由於 |t| = 6.43 遠大於 2.011，落入拒絕域，p < .001。

結論

拒絕 H0。舌壓與 FOIS 之間存在統計上顯著的正向線性相關。

Spearman 等級相關結果

由於 FOIS 為 7 級的順序量表，我們同時計算 Spearman 等級相關：ρ = 0.72, p < .001。Spearman 的結果略高於 Pearson r，這在順序資料存在等級綁結時相當常見。兩種方法一致顯示中度至良好的正相關，表示此發現不受分布假設的影響。

為何同時報告兩種相關？

FOIS 是順序量表，理論上 Spearman 更為適當；Pearson 則提供一個廣為人知的參照基準。當兩種方法的結果方向一致且強度接近（0.68 vs. 0.72），代表此相關不論採用哪種計算方式都是穩健的，可增加研究結論的可信度。

95% 信賴區間（Fisher Z 轉換）

步驟一：轉換為 Fisher Z

\( Z_r = 0.5 \times \ln\!\left(\frac{1 + 0.68}{1 - 0.68}\right) = 0.5 \times \ln(5.25) = 0.829 \)

步驟二：計算標準誤

\( SE_{Z_r} = \frac{1}{\sqrt{50 - 3}} = \frac{1}{\sqrt{47}} = 0.146 \)

步驟三：建立 Z 的信賴區間

95% CI：0.829 ± 1.96 × 0.146 = (0.543, 1.115)

步驟四：反轉換回 r

\( r_{lower} = \tanh(0.543) = 0.50 \)，\( r_{upper} = \tanh(1.115) = 0.81 \)

信賴區間的解讀

95% CI 為 (0.50, 0.81)，不包含 0，再次確認相關具有統計顯著性。區間橫跨中度至良好的相關強度，表示母群體中舌壓與 FOIS 的真實相關係數有 95% 的機率落在此範圍內。

結果撰寫範例

50 位高齡吞嚥障礙患者的最大舌壓與 FOIS 分數之間呈現中度至良好的正相關（Pearson r = .68, 95% CI [.50, .81], p < .001）。Spearman 等級相關亦顯示類似結果（ρ = .72, p < .001），顯示舌壓較高的患者傾向具有較佳的功能性口腔攝食能力。依據 Portney 與 Watkins（2000）的準則，此相關強度屬於中度至良好。

5

SPSS 實作：相關分析操作

請先下載練習用資料檔，再依照以下步驟完成四項相關分析任務。

下載 Excel 練習資料
任務一：年齡 × 最大舌壓（Pearson 相關 + 散佈圖）
  • 相關分析：分析 → 相關 → 雙變量
  • 將「年齡」與「最大舌壓kPa」移入變數清單
  • 勾選 Pearson，按「確定」
  • 散佈圖：圖形 → 圖表建立器 → 選擇「散佈圖/點狀圖」
  • 將「年齡」拖入 X 軸、「最大舌壓kPa」拖入 Y 軸 → 確定
  • 新增趨勢線：雙擊圖表進入編輯模式 → 元素 → 新增配適線
任務二：最大舌壓 × PAS 分數（Pearson 與 Spearman 比較）
  • 分析 → 相關 → 雙變量
  • 將「最大舌壓kPa」與「PAS分數」移入變數清單
  • 同時勾選 Pearson 和 Spearman
  • 按「確定」，比較兩種相關係數的結果

PAS（Penetration-Aspiration Scale）為 1-8 的順序量表，理論上 Spearman 更為適合。觀察兩種係數的差異，判斷分布假設是否影響結論。

任務三：多變數相關矩陣
  • 分析 → 相關 → 雙變量
  • 將「年齡」「握力kg」「BMI」「最大舌壓kPa」「EAT10」「SWALQOL」共 6 個變數移入清單
  • 勾選 Pearson，按「確定」
  • 觀察 6×6 相關矩陣，找出哪些變數配對達到統計顯著

相關矩陣可一次總覽多個變數之間的關聯。留意：同時進行多次比較會增加第一型錯誤風險，解讀結果時應搭配效果量與臨床意義謹慎判斷。

任務四：MMSE × Barthel 指數
  • 分析 → 相關 → 雙變量
  • 將「MMSE」與「Barthel指數」移入變數清單
  • 勾選 Pearson，按「確定」
  • 繪製散佈圖觀察兩者的關聯型態

MMSE 衡量認知功能，Barthel 指數衡量日常生活獨立程度。探討認知功能與生活自理能力之間是否存在顯著的線性相關。

6

相關分析：章節測驗

測試您對本章核心概念的理解程度。共 10 題，答對 +10 分，答錯 −5 分。

準備開始測驗

準備好測試您對相關分析的理解了嗎？

認知負荷量表

完成章節測驗後，請花 1～2 分鐘填寫以下量表，
協助老師了解本章內容對您的認知負荷情況，作為調整教學的參考。

填寫認知負荷量表
← 第11章：卡方檢定（r×c） 返回課程列表 第13章：簡單線性迴歸 →